Giochi di Archimede

Come funziona la gara

I Giochi di Archimede sono il primo livello delle Olimpiadi della Matematica (categoria triennio). Ecco i punti che contano di più per la strategia.

• Quesiti a risposta multipla con cinque alternative (A–E) e, in genere, qualche domanda a risposta numerica.
• In questa fase non ci sono penalità per le risposte errate: conviene rispondere a tutto, anche tirando a indovinare quando il tempo stringe.
• La difficoltà cresce lungo la prova: incassa presto i quesiti sicuri, poi torna sui più duri.
• Non servono strumenti: niente calcolatrice, solo carta, penna e ragionamento.

Strategie di problem solving

Richiami — Teoria dei numeri

Fattorizzazione unica: ogni intero \(>1\) si scrive in modo unico come prodotto di primi. Se \(n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), il numero di divisori è \((a_1+1)\cdots(a_k+1)\).

Legame utile: \(\operatorname{MCD}(a,b)\cdot\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot b\).

Congruenze. \(a\equiv b \pmod m\) significa che \(m\mid(a-b)\). Le ultime cifre di \(a^n\) seguono cicli modulo 10 (per esempio le potenze di 7 danno \(7,9,3,1,7,9,3,1,\dots\)).

Divisibilità rapide. Per 3 e per 9 conta la somma delle cifre; per 11 la somma a segni alterni. Gli zeri finali di \(n!\) contano i fattori 5: \(\lfloor n/5\rfloor+\lfloor n/25\rfloor+\cdots\)

Richiami — Combinatoria e probabilità

Regola del prodotto: scelte indipendenti si moltiplicano. Regola della somma: alternative disgiunte si sommano.

Disposizioni ordinate di \(k\) tra \(n\): \(n(n-1)\cdots(n-k+1)\). Combinazioni (senza ordine): \(\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

Principio dei cassetti (pigeonhole). Se distribuisci \(n\) oggetti in \(k\) contenitori, almeno uno ne contiene \(\left\lceil \dfrac{n}{k}\right\rceil\).

Complementare. Spesso è più facile contare i casi che non vogliamo: \(P(A)=1-P(\text{non }A)\).

Richiami — Geometria

Somma degli angoli interni di un poligono di \(n\) lati: \((n-2)\cdot 180^\circ\); per un poligono regolare ogni angolo interno vale \(\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\).

Area del triangolo: \(A=\tfrac12\,b\,h\); con i soli lati usa Erone: \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), con \(s=\tfrac{a+b+c}{2}\).

Similitudine. Se il rapporto di similitudine è \(k\), le aree stanno come \(k^2\) e i volumi come \(k^3\).

Punti reticolari. Teorema di Pick: un poligono con vertici a coordinate intere ha area \(A=I+\dfrac{B}{2}-1\), dove \(I\) e \(B\) sono i punti interni e di bordo.

Richiami — Algebra e logica

Prodotti notevoli. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), quindi \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\). Inoltre \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Somma di Gauss. \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\); la somma dei primi \(n\) dispari vale \(n^2\).

Invarianti e parità. Se una mossa cambia sempre una quantità di un valore pari, la sua parità non cambia mai: è lo strumento per dimostrare che qualcosa è impossibile.